Лекция 6. Непрерывность функции.

6.1. Понятие непрерывности функции в точке.

6.2. Точки разрыва, их классификация.

6.3. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

М0
М
y = f(x)
у0
у
Δу
х0
х=х0+Δх
у
х
Рис. 6.1
6.1. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в точке х0 и в некоторой её окрестности. Значению аргумента х0 соответствует значение функции y = f(x), а на кривой точка М0(х0,у0).

Дадим аргументу х0 приращение Δх (Δх 0)

Значению аргумента х = х0 + Δх соответствует значению функции у = f(х) = f(х0 + Δх), а на кривой т. М(х,у) приращению аргумента Δх соответствует Лекция 6. Непрерывность функции. приращение функции

Δу = f(x0 + Δх) – f(x0).

Определение.Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и при Δх → 0 приращение функции Δу стремится к нулю, т. е.

(6.1.1)

Из равенства (6.1.2) и свойств пределов вытекает: для непрерывной функции

, откуда

т. е. предел функции при х → х0 совпадаетсо значением функции в

этой точке. На основании пределов следует необходимое и достаточное условие непрерывности в точке х0.

(6.1.2)

Если в точке х0 условия (6.1.2) не выполняются, х0 называется точкой разрыва функции f(x), а функция – разрывной в этой точке.

6.2. Классификация точек разрыва.

При анализе точек разрыва могут представляться следующие случаи.


documentavgeltp.html
documentavgetdx.html
documentavgfaof.html
documentavgfhyn.html
documentavgfpiv.html
Документ Лекция 6. Непрерывность функции.